Что обязательно посетить в Риме? Где недорогой шопинг? Как лучше доехать до отеля из аэропорта?

Проще ответить на вопрос "что можно не смотреть в Риме? " :)
Надо посмотреть Ватикан - Площадь и Собор св. Петра (бесплатно) , подняться на купол Собора (вход справа от центрального входа, около 10 евро, кажется, виды там просто сумасшедшие) , музеи Ватикана - если интересуетесь искусством (билет около 12 евро)
дальше - идите к замку Сант Анжело (внутрь можно не ходить) , потом перейти через Тибр по мосту Ангелов и пройтись по римским переулкам. Там надо пойти на площадь Навона, оттуда перейти через Корсо и пойти к Фонтану Треви, затем к Испанской лестнице (там просто необходимо выпить кофе в кафе Эль Греко, где пил кофе Гоголь и многие другие) . Остается античная часть - Коллизей и Палантин (общий билет чуть более 10 евро) . Можно бесплатно пройтись по форуму Империале, подняться на холм Капитолий (где Волчица и т. п. )
в отеле можно бесплатно взять карту Рима, на которой отмечены памятники. Все что отмечены - обязательны к посещению :)
и это только самое стандартное, то, что туристы смотрят на обзорной экскурсии. Купите в книжном Путеводитель и гуляйте сами.
Шопинг в Риме лично мне не нравится. Но это мое личное мнение и возможность выбора у меня большая.
Можно пройтись по виа Национале, там недорого. Бутики находятся в районе Испанской лестницы.
Из аэропорта Фьюмичино ходит электричка-экспресс до центрального вокзала Фьюмичино, идет минут 20, найти ее в аэропорту не проблема, полно указателей. Стоимость - кажется 11 евро.
Цены примерные - давно не ездила в Риме на общественном транспорте, все больше на машине бываю.
но если надо - пишите, помогу сориентироваться в городе, добраться до отеля и т. д.
Обожаю Рим, да и он ко мне неплохо относится уже много лет :)