Необходимо ли согласие бывшего мужа на пересечение ребенком границы в Абхазии.

В соответствии с федеральным законом РФ от 15.08.1996 г. N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» никакого письменного согласия второго родителя на ВЫЕЗД ребенка за границу не требуется.
Исключение составляют только 2 случая:
1. Если второй родитель ранее официально заявил о своем несогласии на такие выезды.
2. Если страна, в которую Вы выезжаете, требует такое разрешение (страны Шенгенской зоны, к примеру) . Абхазия к числу таких стран не относится.

Если Вы в разводе и в паспорте стоит штамп о разводе, то ДА!
Если такового нет, то не надо
Случались прицеденты такие, требовали согласие. Так что возьмите на всякий пожарный случай

Поинтересуйтесь в турфирме. Когда я там была на границе такие проблемы у людей возникали, правда отпускали их, но лучше нервы там не трепать.

Ребенок следует с одним из родителей без согласия второго на отдых в Абхазию и Украину!

Уменя стоит штамп о разводе с отцом ребёнка, кроме того у нас разные фамилии (я вышла замуж и поменяла) , тем не менее я с сыном ездила в прошлом 2009 году туда дважды, т. е. 4 раза пересекала границу (2 туда и 2 обратно) и такого разрешения у меня не спрашивали.
Хотя, хочу сказать, я немного волновалась, т. к. закон законом, а на практике можно и до столба докопаться!

не надо

папа с сестренкой ездили, ей тогда лет 10 было.. . задали 1 вопрос (как папу зовут?)) ) и все.. . никаких документов, кроме папиного паспорта и свидетельства о рождении сестренки не потребовали.

На сколько знаю. Не надо, там и пограничников-то как таковых нет)

Знаю, что на Украину нужно обязательно. Не важно в разводе или нет. При мне были случаи, когда прям ссаживали с поезда. Позаботьтесь об этом заранее. Лучше сделать, чем потерять отдых. Удачи!