Подскажите плиз, где и как отдохнуть в Абхазии в мае месяце семье из четырех человек.

Обратитесь на форум по отдыху в Абхазии
тут
Советую гагру недалеко от границы ехать 30 мин. там красиво, тепло, оттуда ходят маршрутки по всей Абхазии можно самостоятельно съездить в другие города.
Цены на питание как в России если учитывать то. что все привозится оттуда. В мае летние кафе не работают, но много стационарных, обед на 1 чел в среднем от 250 р.
От жд вокзала Адлер есть маршрутки до Псоу ( коммерческие -дороже и государственные остановка на площади), после Псоу перехода границы садитесь на маршрутку до Гагр (их много стоят на каждой написан город) .
Май еще не сезон возможно будет не очень дорого от 300 р с чел.
Посмотрите здесь
Новая Гагра ул. Адыга д 129
www.gagrasector.ru

В мае в Абхазии НЕ СЕЗОН!
Абхазия хороша своим сочетанием моря и природы, если море исключить, то грустно - делать нечего.
Интересная одна экскурсия в Новый Афон, пещеры и монастырь. На эту экскурсию легко попасть и из Адлера или Сочи.
Рекомендую остановиться в Адлере, есть куда пойти и чем заняться. Аквапарки начинают работать в июне, но есть дельфинарий,
форелевое хозяйство, Тисо-самшитовая роща, парк южных культур, дендрарий и многое чего. В Абхазию на один день на экскурсию съездите и достаточно этого. Да, море прогревается до 20 градусов после 20 июня, в конце мая 16-17 градусов

Май - это немного рановато, море еще прохладное. А почитать описание курортов Абхазии и перечень достопримечательностей можно пройдя по запросу "едем, сами рулим".