Где лучше отдохнуть в Абхазии с детьми?

в Севастопле

Пицунда. В интернете полно предложений по отдыху-отели-частные дома-квартиры. Ищите для себя подходящий вариант.

Пицуда.
См. "Эмма Шутиевна"

набери в поисковике отдых в СУХУМ.

Наверное лучше Пицунда. Но в Гаграх веселее. Сухум, вообще, пока не "жилой".

Гагры не советую сразу, как впрочем и Сухум, мне там не понравилось. Из примеров где была лично - http://черноморские-курорты.рф/abkhazia-gagra-dom-candripch-apsni.html, очень доброжелательные хозяева и спокойно.
http://черноморские-курорты.рф/abkhazia-gudauta-dom-afon-chsektor-1.html - здесь провела 3 дня, тоже понравилось.
Ещё очень понравилось "Лукоморье", но там всего 2 дня была. : (

Наберите в поиске Аква-Абаза. Там все предложения по Абхазии, отели, базы, пансионаты. Посмотрите. Может что то и подберёте.

В Новом Афоне

Зависит от вашего бюджета и желаемого отдыха. Самый курортный и теплый (что важно в июне) город Абхазии - Гагра, мы сейчас здесь находимся с ребенком. Новый Афон - красивый, "густой" воздух, но небольшой - сюда обязательно езжайте на экскурсию. Пицунда популярен среди любителей пляжного отдыха, многим нравятся там пляжи, но в июне море еще будет прохладное. Сухум это не курорт - это столица, отдыхать можно в соседних поселках.
Для отдыха с детьми советую Гагру, здесь есть необходимая инфраструктура и большой выбор гостиниц.
Недорогие пансионаты не ремонтировались со времен СССР, кому-то это нравится, но я никому не советую там отдыхать. Многие турпоператоры предлагают ехать именно в такие пансионаты, не говоря об их несоответствии элементарным нормам. Дорогой вариант отдыха "все включено" (для понимания стоимости) http://bananatrip.ru/blog/wellness-parkhotel-gagra-all-inclusive
Смотрите гостевые дома или просто частный сектор на берегу моря - в июне можно снять вполне бюджетно в трех-пяти минутах от пляжа.