Подскажите, идет ли сейчас поезд в Абхазию? Раньше помню только до границы ходил

Ходит! К тому же пустили дополнительные поезда летом
http://www.matresh-ka.ru/news/2017/1784

Идёт.
А при чём здесь ОТДЫХ в РОССИИ?

Москва - Сухум, Питер - Сухум и Самара - Сухум.

Есть поезда Москва-Сухуми

489А Санкт-Петербург — Сухум
РЖД/ФПК
03:49
1 дн. 23 ч
02:45
Курский вокзал
Сухум
плацкартот 3 169 Р
купеот 5 449 Р
Выбрать дату
только 18 июня
479А Санкт-Петербург — Сухум
РЖД/ФПК
10:40
1 дн. 23 ч
09:17
Курский вокзал
Сухум
плацкартот 3 356 Р
купеот 5 758 Р
Выбрать дату
21, 22, 26, 29, 30 июня и в др. дни
547М Москва — Сухум
РЖД/ФПК
14:30
2 дн. 6 ч
20:35
Курский вокзал
Сухум
плацкартот 3 651 Р
купеот 6 268 Р
СВот 12 594 Р
Выбрать дату
по чётным
306М Москва — Сухум
РЖД/ФПК
19:50
1 дн. 15 ч
10:24
Казанский вокзал
Сухум
плацкартот 3 075 Р
купеот 5 288 Р
СВот 10 590 Р
Выбрать дату
16, 18, 19, 20, 22 июня и в др. дни

Летом в сезон два поезда идут ежедневно:
- 479А Санкт-Петербург - Сухум - прибытие 9:17 (местное время)
- 305М Москва Казанская - Сухум - прибытие 10:24 (местное время)

И по гибкому графику через день идут еще 2 поезда поочередно:
- 487Й Самара - Сухум - прибытие 20:35 нечетн. (местное время)
- 547М Москва Курская - Сухум - прибытие четн. 20:35 (местное время)

Только с Москвы. И то только один --Москва-Сухум

Вас на сайте РЖД забанили? Или русские, как всегда, больше верят своему соседу Васе?

Поезда запускают на лето: Москва-Сухум, СПБ - Сухум и какой-то еще город, не помню.