Есть решение о разводе, в ЗАГСе не дают свидетельство о разводе по причине не соответствия фамилии в решении и паспорте.

1. ЗАГС здесь прав. Поскольку при регистрации расторжения брака фамилия в документе, удостоверяющем личность, и в решении суда о расторжении брака должны совпадать полностью. Различается фамилия на одну букву или на все десять - юридически это - разные фамилии.
2. Суд тоже прав. Поскольку он вынес решение на основании актовой записи о браке; а в этой актовой записи фамилия была без мягкого знака. То есть это никакая не описка, не "косяк" суда и исправлять это только потому, что муж предьявил сейчас паспорт на другую фамилию, у суда нет оснований.
3. Вот всегда хочется спросить у людей в таких случаях (может, не очень вежливо) : люди, милые, какого хрена вы не устраняете разночтения во ВСЕХ своих документах?? ? Паспорт у вас на Петрова, свидетельство о браке на Сидорова; вы спокойно несете все это в суд (который тоже по каким-то причинам не особо по этому поводу заморачивается)?? ? И только в ЗАГСе, когда вам указывают на очевидные вещи и совершенно законно отказывают, вы начинаете кричать: караул, что же делать? Хотя это разночтение в свидетельстве о браке муж или вы могли до развода устранить элементарно, после получения мужем паспорта РФ обратившись в отдел ЗАГС с заявлением о внесении исправлений в актовую запись о браке. За 400 р. пошлины вам бы все исправили, выдали новое св-во о браке, а дальше бы шли и разводились на доброе здоровье.
4. Что делать теперь? Идти в суд, получать там официальный письменный отказ во внесении исправлений в решение суда о расторжении брака.
Идти в ЗАГС, получать там официальный письменный отказ в регистрации расторжения брака по такому решению суда. А дальше - муж должен обратиться в суд с заявлением об установлении факта, имеющего юридическое значение, а именно: факта принадлежности ему данного решения суда, то есть именно то, что вам сказали в ЗАГСе. Образцы примерные здесь (ссылку отправлю на почту, здесь не дают ее вставить)
Или обратитесь к юристу, чтобы вам составил заявление. После вынесения решения в вашу пользу придете с ним в ЗАГС и оформите расторжение брака.

может, предоставить его свидетельство о рождении?

кстати, именно в ЗАГСЕ и должны вам подсказать, как поступить в данной ситуации.

у него же есть другие документы, подтверждающие его личность. - предоставьте в ЗАГС.