может ли гражданин другой страны преподавать в Российских школах?

Почему нет? Главное разрешение на работу, виза и тп

только те предметы, где
нет расхождений в теории

Если у гражданина есть высшее образование и профессия учителя, он сможет преподавать, если знает в совершенстве русский язык.