Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты.

Question

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга.

не знаю как школьники а я студент 2-го курса и с комбинаторикой чуть туговато!) ) помогите какое здесь решение?

в принципе как решить задачу я понял вот 3^12-3*2^12 + 3*1^12=519156 
 
т. е. 3^12 это кол-во вариантов (способов) для книг где в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга. 
а вот 3*2^12 - что значит? 
и 3*1^12 - что значит ?

я так решил

но до конца не уверен

обьясните!

Марина Прояева · Accepted Answer

Да, хреновато у тебя с комбинаторикой... Ну что ж.. . 519156 вариантов. Я подхожу совершенно по-другому. 
Есть 12 вариантов выбора книг для покраски по количеству книг в каждом цвете (красный, зеленый, коричневый) 
1 1 10 
1 2 9 
1 3 8 
1 4 7 
1 5 6 
2 2 8 
2 3 7 
2 4 6 
2 5 5 
3 3 6 
3 4 5 
4 4 4 
Им соответствуют количество вариантов выбора книг по их числу, например, первому, 12!/(10!*2!)*2!/(1!*1!)=66*2=132. Их надо посчитать. 
И каждому набору соответствует число возможных перестановок по цветам. Если все числа в наборе разные, то 3!=6, если две одинаковые, до 3!/(2!*1!)=3, если все одинаковые (последний случай) , то 3!/(3!*0!)=1. 
Затем количество вариантов выбора книг для каждого набора надо умножить на количество перестановок в наборе (то есть, для первого получится 132*3=396), и полученные числа сложить. Получится 519156. 
Легко сделать в Excel.

Наташа Кушнир · Answer

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Олеся · Answer

3^12 -всех вариантов ( в т. ч. таких, когда все книги будут какого-то одного цвета, или двух) 
Если участвуют только 2 цвета - надо знать -какие. Выбираем из 3 по 2 -получаем 3 способа. Остальные книжки распределяем между этими двумя цветами получаем 2^12 итого 3*2^12. 
Аналогично для случая, когда участвует только 1 цвет - надо знать -какой. Выбираем из 3 по 1 -получаем 3 способа. Остальные книжки распределяем на этот цвет т. е. 1^12 итого 3*1^12.

@ Lusi @ · Answer

Представим 12 книг как последовательность из 12 единиц, записанных в строку:
Пусть для определённости Вася сначала заполняет сначала красную коробочку, потом зелёную, потом синюю. После того, как Вася положил первые k книг в красную коробочку будем ставить 0 в последовательность из 12 единиц так, чтобы слева от 0 стояло ровно k единиц. После того, как Вася положил k книг в красную коробочку у него останется 12−k книг, а в последовательности справа от 0 будет стоять ровно 12−k единиц:
После того, как Вася положит l книг в зелёную коробочку, произведём аналогичную операцию с последовательностью, а именно, поставим второй 0 так, чтобы между первым нулём и вторым стояло ровно l единиц. Оставшееся количество книг 12−k−l попадёт в синюю коробочку, и оно равно количеству единиц, стоящих справа от второго поставленного нуля:
То есть мы каждому разложению по коробочкам сопоставили последовательность из 12 единиц и 2 нулей. А уже ясно, как в свою очередь, каждой такой последовательности сопоставить способ того, как мы будем раскладывать книги по коробочкам, количество книг в красной коробочке будет k, в зеленой — l и в синей — 12−k−l. В итоге, мы взаимно однозначно сопоставили каждому способу разложить книги по коробочкам каждую последовательность из 12 единиц и 2 нулей. Т. е. количество способов разложить книги равно количеству последовательностей из 12 единиц и 2 нулей.

Поэтому ответ равен количеству способов поставить два нуля на каждое из 14 мест (в остальные позиции мы будем ставить 1) — C из 14 по 2=91.