В Евросоюзе гражданин одной страны ЕС может свободно переехать в другую страну ЕС и там жить? Или надо те же ВНЖ, ПМЖ ?

граждане и иностранцы имеющие разрешение на проживание длительного действия или разрешение на проживание в режиме Евросоюза в одной стран ЕС могут свободно передвигаться и переживать в любой стране Евросоюза. для длительного нахождения в другой стране нужно получить удостоверение личности в иммиграционной службе этой страны (разрешение на проживание в режиме Евросоюза) дающее такие же права как и у граждан страны, за исключением работы в гос. службах и участия в выборах

Практически да. Немного другие правила для последних стран принятых в ЕС Болгарии и Румынии. У них были ограночения на работу. Сейчас не знаю может уже сняты или полегче стали. В ЕС надо продержаться определенное время чтоб иметь одинаковые права такие как например у Германии, Испании. Раньше новым странам, вступившим в 2004 году, надо было брать разрешенiе на работу, но в прошлом году это правило отменили, я про то как это в UK. Вообще прожив год автоматически становишься резидентом, а там если есть желание через 5 лет можно на гражданство подавать

Да, конечно, без проблем.

Только на своё самообеспечение Чужая страна кормить не будет (социал)

Знаю, что в Люксембург ездят на работу из Германии и Франции. А как это юридически оформляется - не в курсе.

Да, вот так могу взять и свободно переехать, и жить.

гражданин имеющий паспорт одной из стран ЕС спокойно может жить и работать а любой стране ЕС. устроившись на работу, автоматически работодателем выдаётся и страховка на здоровье и пенсию как у всех. исключение если вас возьмут так сказать по чёрному ( без страховки, что обговаривается сразу. так больше вероятности найти работу)

Может переехать и жить если есть на что. Может работать без специального разрешения.

да, могут. кроме последних принятых стран, жить они могут везде в ес, а для работы им пока надо разрешение на работу.

смотря что вы имеете ввиду под словом ЖИТЬ. находиться можно, работать. а получить мед. страховку местную\для местных посещение врача намного дешевле\,встать на учёт на биржу труда и т. п. -тут нужно оформлять ПМЖ. и для этого тоже нужны веские основания.
а в социальной службе по новому закону людей из стран ЕС даже на учёт не берут.