почему нужно дорожить своим именем

А как это им дорожить? Ох, любит народ мудрить... Словоблудие какое-то.

Вспомните пословицу: "Береги платье с нову, а честь смолоду"

имя определяет твой путь дальнейший, так что им стоит дорожить.

А почему именем нужно дорожить, а фамилию женщины так и стремятся поменять? Чем фамилия хуже имени?

Имеется в виду старое значение - фамилия, Род. Сила Рода. Не позорить свой Род, гордиться предками, правильно растить детей, уважать старших, и т. п. Но сейчас это, увы, не актуально.. . и уже довольно давно.