Подскажите, если засохшие кончики пальмы срезать, они потом отрастут?

Резать можно только по сухому месту.

Нет. Они продолжат сохнуть дальше.

Если Вы и правда ПАЛЬМУ имете ввиду, например финиковую, то кончики не отрастут. Но обрезать их надо для красоты по усохшему месту. Постепенно отсохнет весь лист и его придётся отрезать оставив лишь см 10-15 черешка листа. Из этих черешков и состоит столь привлекательный ствол пальмы финиковой.

Нет, конечно, не отрастут.

Нужно срезать не до конца сухое, тогда не будет дальше засыхать.