Нужно ли при после покупки нового авто проходить ТО (получать диагностическую карту)???

Нет, не надо!

"Статья 15. Периодичность проведения технического осмотра
...2. Не требуется проведение технического осмотра в первые три года, включая год выпуска в обращение, в отношении следующих транспортных средств (за исключением транспортных средств, указанных в пунктах 1 и 3 части 1 настоящей статьи) :
1) легковые автомобили, разрешенная максимальная масса которых составляет до трех тонн пятисот килограмм;
2) грузовые автомобили, разрешенная максимальная масса которых составляет до трех тонн пятисот килограмм;
3) прицепы и полуприцепы, разрешенная максимальная масса которых составляет до трех тонн пятисот килограмм;
4) мототранспортные средства. "