какие сейчас нужны документы на прицеп? для спокойного передвижения с ним, легковой

Номерной знак.
Свидетельство о регистрации - розоватая заламинированная карточка.
Если процеп чужой - то еще и доверенность (рукописной вполне достаточно) .
Всё, других документов не надо.

ТЕХОСМОТР на легковые прицепы для физ лиц ОТМЕНЕН, он не нужен.
Принудительное ОСАГО на такие прицепы ОТМЕНЕНО еще в 2008 году, оно тоже не нужно.