для чего нужен сердечник в трансформаторе?

что именно он дает или делает? Без него можно вкл в сеть и проверить напряжение? И из-за чего может не работать ?

Сердечник нужен для двух вещей.
1. Для обеспечения требуемого значения индуктивности первичной обмотки.
2. Для уменьшения индуктивности рассеяния (сосредоточения магнитного потока внутри обмоток) .
Сетевой транс без сердечника работать не будет, а сгорит.

Во-первых трансформатор может не работать из-за обрыва обмотки или короткого замыкания. Сердечник служит для трансформации то есть передачи магнитного поля с первичной обмотки на вторичную. Для проверки обмоток используйте тестер.

Сам процесс трансформации - это возникновение вторичной эдс по закону Фарадея: E =-dФ/dt, где Ф = nBS. Здесь В - индукция магнитного поля, а она прямо пропорциональна магнитной проницаемости материала сердечника. То есть сердечник просто повышает эффективность работы трансформатора. Без него для создания того же магнитного потока Ф потребовалось бы куда больше витков (n).
Кроме того, сердечник концентрирует магнитный поток там, где нужно. То есть внутри катушек. Без сердечника он был бы рассеянным в пространстве. И тот факт, что "коэффициент трансформации равен отношению числа витков", - это как раз в чистом виде заслуга сердечника. Без этого ТОЛЬКО ЧАСТЬ магнитного потока создавала бы вторичную эдс, то есть коэффицициент трансформации был бы значительно ниже.