Можно ли найти численными методами приближенное решение уравнения Шредингера для всех электронов в молекуле воды?

Question

Многие химические свойства многоатомных молекул можно определить, изучая химические связи в этих молекулах. Химические связи определяются волновыми функциями электронов атомов этой молекулы. Волновые функции электронов можно найти из решений уравнений Шредингера для этих электронов. Эти уравнения в аналитическом виде не решаются. Могут ли численные методы современной квантовой химии получать приближенные решения уравнения Шредингера для больших и сложных многоатомных молекул, а не только для атома водорода и водородоподобных атомов? Вычислительные мощности супер-ЭВМ растут, следовательно численные методы должны развиться до решения уравнения Шредингера для электронов в больших многоатомных молекулах, а не только для атомов водорода и гелия.

Анна Дмитриева · Accepted Answer

В общем случае ответ - НЕТ. 
Дело в том, что нелинейное уравнение Шредингера для многих тел является НЕИНТЕГРИРУЕМЫМ, то есть количество сохраняющихся интегралов таких дифференциальных уравнений меньше, чем число степеней свободы. 
В общем случае, у таких дифференциальных уравнений существуют такие области фазового пространства, где решения являются неустойчивыми. То есть маленькое отклонение начальных данных приводит к сильному отклонению решения по экспоненте. ("Эффект бабочки".) А все компьютеры работают только с конечным числом цифр после запятой. Какая бы супер-ЭВМ ни была, она всё равно не работает с бесконечным числом знаков после запятой. Поэтому ошибка набегает экспоненциальным образом и мы, в итоге, получаем некоторое решение, которое непонятно каким образом связано с начальными условиями. А разные решения, соответствующие разным, но очень близким, начальным условиям, могут топологически кардинально различаться. 
Эта проблема не только нелинейных уравнений Шредингера. Такие вещи, как предсказание погоды или расчет траектории шарика в рулетке также невозможны численными методами из-за неинтегрируемости описывающих дифференциальных уравнений и, как следствие, неустойчивости решений из некоторой области фазового пространства. 
То есть для корректного применения численных методов обязательно необходимо третье условие применимости численных методов 
1. Решение существует 
2. Решение единственно 
3. Решение устойчиво 
Но не всё так плохо. Расчеты сложных атомов и молекул на компьютерах всё таки ведутся. Во-первых, не всегда области неустойчивости большие. Во-вторых, не всегда области неустойчивости в фазовом пространстве дифференциального уравнения располагаются на самых интересных местах для физиков и химиков. В-третьих, порой на практике интересуют не конкретные цифры, а просто статистика топологически разных решений, то есть какие типы решений, вообще, бывают в системе и насколько велика мощность континуума того или иного типа решения, так как с одной отдельно взятой молекулой воды всё равно на практике не работают, работают со стаканом воды или капелькой, в общем, там всё равно проявляется статистика.