Вектор-столбец и вектор-строка. В чем разница?

Пусть даны два вектора а и b с компонентами в данном базисе соответственно а1, а2, a3 и b1, b2, b3. Пусть данные векторы линейно зависимы (коллинеарны) . Тогда можно записать систему уравнений:
W a1 + M b1 = 0
W a2 + M b2 = 0
W a3 + M b3 = 0.
Либо в векторном виде:
a1 b1 0
W a2 + M b2 = 0
a3 b3 0
Из данной системы видно, что вектор (его компонентами) можно представить в виде матрицы-столбца.
Но, при этом можно ввести матрицу-строку (W M).
Вроде как (если я правильно понял) эта матрица-столбец - тоже вектор (с учетом произведения векторов) .
Возникает вопрос: существует ли разница (в геометрическом плане) между вектором-строкой и вектором-столбцом? Или каждый вектор можно обозначить как строкой, так и столбцом? Если так, то зачем для одного вектора вводить обозначение и через столбец и через строку? Каким образом тогда выбирается обозначение вектора через строку (столбец)?

Линейный оператор превращает вектор-строку в вектор-столбец - просто по правилу перемножения матриц. Таким образом, можно считать (так и принято) , что вектор-строка это вектор исходного пространства, а вектор-столбец - сопряженного пространства.
Аналогично действует метрический тензор. Таким образом, можно считать (так и принято) , что вектор-столбец это контравариантный вектор, а вектор-строка - ковариантный.
А можно ничего этого не считать! А считать, что это одно и то же. Все зависит от задачи.