значение слова спешный

Торопится, бежать, почти опаздывать

Срочный, то что нужно сделать неотлагательно.

Спешная работа - тяп-ляп, впопыхах.

Большой толковый словарь
СПЕШНЫЙ, -ая, -ое; -шен, -шна, -шно.
Требующий быстрого исполнения; срочный. С-ая работа. С-ая переброска войск. Строительство было с-ое, поджимали сроки. С-ая почта
(почта, требующая срочной доставки) . //
Совершаемый быстро; быстрый, торопливый. Спешным маршем через село прошла воинская часть. Послышались чьи-то с-ые шаги. Произведены с-ые замены в руководстве. < В спешном порядке, в зн. нареч.
Спешно, срочно. Отступать в спешном порядке. Следствие по делу было закончено в спешном порядке. Спешно, нареч. С. доставить письмо. С. уехать.