Как новые напечатанные деньги входят в оборот? Через банки?

Совершенно верно. Банки получают наличные деньги (и нового, и старого образца) в расчетно-кассовых центрах Центрального банка России, обладающего монопольным правом выпуска наличных денег. Дальше в процессе различных операций наличные деньги от банков получают организации и физические лица, обмениваются между собой в различных сделках. И конечно, параллельно происходит обратный процесс.