Если я удалю старую версию Оперы и установлю новую, у меня сохранятся все закладки со старой версии?

Да останутся

Или скопируй сначала старые закладки.

Включите службу Opera Link, она попросит зарегистрироваться, а затем сохранит на сервер Opera указанные данные, в том числе закладки, быстрые переходы и т. д. вплоть до паролей. Галочки поставьте на том, что сохранить хотите.
Затем на новой Opera снова включаете эту службу и она сама всё восстановит. Полезно, когда целиком всё сносите или на другом компьютере нужны данные.

так перед удаление сохрани закладки Закладки-Управление закладками-Файл-Экспортировать закладки Opera,выбираешь папку для сохранения все закладки сохраняются в файле adr перед срохранение назови как нибудь этот файл, нажми Сохранить, а чтоб обратно вставить Закладки-Управление закладками-Файл-Импорт закладок Opera и указываешь путь на ранее сохранённый файл, нажимаешь Открыть

Варианты
1.для того чтобы сохранить закладки в Опере нажми Файл - Импорт и экспорт - Импортировать закладки и сохрани где хочешь. восстановить - экспортировать закладки укажи файл который сохранил.
2.Зайди по пути
C:\Users\Пользователь\AppData\Roaming\Opera\Opera и скопируй файл bookmarks.adr - вот они твои закладки, после заменишь