у ребенка маленькие пупырышки на ладонях и ступнях, врач не знает что это, что делать?

Возможно, аллергия на что-либо. Видела такое.

у инфекциониста были?

а у Вас один-единственный врач? Обратитесь к другому врачу.. . к дерматологу, например...