Пожалуйста, помогите разобраться с задачей, нужны рассуждения
Докажите, что если L, L' - изоморфные пространства, и элементы x1, ..xm пространства L линейно зависимы, то их образы (x1)', ..(xm)' также линейно зависимы
Элементы х1, ..хm линейно зависимы тогда и только тогда, когда имеется линейная комбинация
а1 х1 + .+am хm =0, в которой хотя бы один из коэффициентов не равен 0.
Если есть изоморфизм F: L -> L'
то он переводит 0 в 0, т. е. F(0)=0. Поэтому
F( а1 х1 + .+am хm) = 0.
Изоморфизм сохраняет операцию сложения, т. е.
F( а1 х1+ ..+am хm) = F(а1 х1 )+ ..+F(am хm),
поэтому F(а1 х1 )+ ..+F(am хm)=0.
Изоморфизм сохраняет операцию умножения на число, т. е.
F(а1 х1) = а1 F(х1 ), ..F(am хm) = am F( хm),
поэтому а1 F(х1 )+ ..+am F(хm)=0.
, то есть а1 х1' + .+am хm' = 0. А это и означает, что х1' , .хm' линейно зависимы.
⇢