могу ли я стать на биржу труда в другом городе не по происке? По трудовой не работала. . По трудовой не работала..

Только по месту регистрации.
Чтобы встать на биржу труда в другом городе вам нужна временная регистрация по месту жительства, с другого адреса выписываться не нужно.