Какие права имеют суды РФ (неважно какие, арбитражные, апелляционные, общие права!)?

Ну вообще то все права и обязанности зависят от конкретного суда: конституционный, арбитражный, общей юрисдикции и т. д. Необходимо смотреть множество законов: УПК, ГПК, АПК, ФКЗ о КС РФ и другие.
Общее право для всех судов - осуществлять правосудие, за исключением КС, он осуществляет конституционный контроль.