Могу ли я требовать оплату операции от организации?

Если производственная травма, то да!

Требовать можно, что душе угодно. Оплачивать только организация не должна.

Требовать можно что угодно, но никто ничего Вам оплачивать не должен, хоть это операция по общему заболеванию, хоть по производственной травме. Все, что касается травмы на производстве - все оплачивает ФСС, включая любые дорогостоящие операции, поэтому тут работодатель Вам ничего оплачивать не будет. А по общему заболеванию - наше дорогое государство нас давно заставило выживать в одиночку, ни на кого не надеясь, уж по крайней мере ни на государство, ни на работодателя - это уж точно, ну если только какой благотворитель найдется...

Можете просить материальной помощи у директора, если не производственная травма, но если есть профсоюз, то и у него можно просить помощи. Требовать можете, если производственная травма.