Имеет ли право гаишник снимать на свой сотовый телефон нарушения?

И не нарушения тоже.

Конечно имеет право, будет доказательство нарушения ПДД

приборы видео и фотофиксации не регламентированы, так что имеет права на все что может снимать и приложить к материалам дела как доказательство

Имеет, у него ведь крыша есть.

имеет, но как доказательство это не может быть использовано

конечно, тем более, если нарушитель предлагает взятку или оскорбляет инспектора. это называется видеофиксация, и данная запись может быть использована в суде как доказательство (не нарушения ПДД, а именно факта дачи взятки или оскорбления) .