По моему, вас только Запутывает человек выше. конечно еть много синонимов и ничего не стоит увидеть их в словаре синонимов, но вы задали прекрасный вопрос о словах, которые действительно переводятся как "следовать, преследовать"
To pursue - прекрасное слово, означает именно "преследовать цель" "идти к какой то цели":
he pursues a medical career. - он делает карьеру доктора, (ведь на доктора не только учатся, но и проходят ординатуру итд, такое выражение описывает весь процесс.
To follow- идти за кем то. Please follow me - пройдите за мной, тоже следовать за кем то, чему то совету- He followed my advice.
Идти по стопам:
He followed in his father's footstep and pursued a career in law. -Он пошел по стопам отца и делал карьеру в юриспруденции.
To chase - бежать за кем то преследуя - The dogs chased the fox. police started a car chase.