А можно ли гильберово пространство использовать в вычислительных целях. Посылать туда частицы и получать результаты?

Его и используют в вычислитеьных целях. Например, представление функций в виде спектра - разложения в базисе гильбертова пространства. Также представления состояний в квантовой механике.
А вот как можно посылать частицы в математическую абстракцию - это вопрос.
Вам, я чувствую, понравилось само СЛОВО.