Можно ли по-русски сказать: "В лесу стоял необычайный аромат, и я тоже остановился постоять"?

Можно.

Нет, нельзя.
Вы упомянули слово "тоже", но в предложении нет указания на то, что вы в лесу не один. Да и тафтология - "остановился постоять". Так что вернее будет "В лесу стоял необычайный аромат, и я остановился".

Если Вы решили покаламбурить, то можно. Слово "стоять" в предложении использовано в разных значениях, и "тоже" здесь неуместно.

Как называется ошибка - не знаю.
В лесу стоял аромат, и я тоже остановился. Шли дождь и два студента. Не знаю, как ошибка называется.

Не считаю, что остановился постоять - плеоназм. Остановился (зачем? ) - отдохнуть, напиться, поговорить.. . или постоять.

на данный момент можно сказать

можно, конечно.. . вода закипела, и во мне все закипело.. . инфляция и Маша подросли за год на 5%... спектакль затянулся и он тоже решил затянуться.. . в английскомм это любимая тема песен, сказок, полно всякой классики новой и старой: пришел счет за французский, алгебру, литературу и стирку.. . а что это за наука такая - стирка? в общем, вопрос интересный, но логическая ошибка в примере убивает каламбур.. . -В лесу стоял необычайный аромат (чего-то) , и я стоял, как завороженный.. . -тоже - излишне, а стоял, в смысле, замер.. . то есть фраза-то фразой, но эстетика речи хромает.. . или вот еще - В лесу стоял необычайный аромат листьев берез, и я тоже стоял, как березовый веник...

Когда-то в риторике это называлось стилистической ошибкой. А теперь мы знаем о стилистической фигуре ЗЕВГМА.
Зевгма — это фигура речи: стилистический приём усиления выразительности за счёт нарушения семантической однородности в цепочке однородных членов предложения или целых предложений.
Термин древнегреческой стилистики, переводимый буквально, как «связь» .
Зевгма производит впечатление неожиданным сочетанием понятий, создает эффект обманутого ожидания:
Собрание шумело одобрением и питалось колбасой, сдерживая ею стихию благородных чувств (А. Платонов) .
Шёл дождь и отряд красноармейцев. Сегодня в Кремле Президент принял представительницу ОБСЕ и военную доктрину)
Впоследствии, кроме гражданской скорби, он стал впадать и в шампанское.

Кончно можно.. . Вы пьёте чай с женой и сахаром.

нельзя. слово "постоять" надо заменить на фразу "чтобы подышать этим ароматом"

даже в этом что то есть - это повторение не кажется излишним

бред получается

Ух какая симпатичная зевгма получилась бы! Хотя это больше силлепс.

Если у Вас серьёзный текст, говорить так, конечно, нежелательно. Попробуйте как-нибудь перестроить. Что касается ошибок - это тавтология (хрестоматийный пример - "масло масляное") и плеоназм ("прейскурант цен" или "подниматься вверх" (почти "остановиться постоять")). Впрочем, об этом уже написали.

Однако если стиль текста позволяет использование специфических средств художественной выразительности, то предложение вполне можно строить так, как построили Вы. В этом случае то, что было ошибкой, превращается в своеобразную изюминку. Если интересно, что я написала выше, прошу: зевгма - это что-то вроде эллипса (если проще - когда с целью избежать тавтологии одно из повторяющихся слов опускается, даже если они различны в какой-либо грамматической категории (н-р, "Я люблю красный цвет, ты - синий"). А силлепс - это употребление семантически (по значению) различных слов в качестве общего главного или второстепенного члена предложения ("Шёл дождь и два студента" или "Я пила чай с сахаром и мамой" - то есть, почти как у Вас: "Стоял запах и я"). Так что дерзайте :)