Имеет ли право военкомат требовать у призывника данные о смерти его отца, в т. ч. диагноз?

И не только отца, но и дальних родственников.

Свидетельство о смерти отца позволило моему сыну получить отсрочку от призыва в ряды Вооруженных Сил...

Если им понадобятся, то они могут найти от чего умер ваш пра-пра-пра-дедушка или любой другой родственик...

Что за данные? Если вы указали, что отец умер, то можете свои слова подтвердить копией св-ва о смерти.
А диагноз тут причем? Здоровый человек может и утонуть, и под авто попасть... Кому надо тот пусть и ищет. В военкомате все затейливее и затейливее товарищи...

Если отец умер в результате суицида, то такого призывника в армию уже не возьмут. Поэтому лучше сообщить причину.

Да, имеют.