Смогу ли я с визой в РФ перемещаться по Таможенному союзу?

Таможенный союз здесь ни при чем. Таможня проверяет не людей, а грузы.
Перемещение людей проверяют пограничники.
Виза РФ не дает прав на пребывание в Белорусии, Казахстане и других странах. То, что на границе России и Белорусии пограничников нет, ничего не значит. При первой же случайной проверке документов иностранец, не имеющий белорусской визы, считается нарушителем пограничного режима со всеми вытекающими.