как вычислить полный дифференциал функции z=(x-y)*arctgx+4*sqrt (x*y)+5

Вот так: dz=z'_x*dx+z'_y y,

где z'_x означает частную производную от z по x,
z'_y означает частную производную от z по y.

Например, z'_x=arctg x+(x-y)/(1+x^2)+2*sqrt(y)/sqrt(x)