выставляются ли двойки в журнал за обучающее изложение во 2 классе? Или ставятся только положительные отметки?

Все оценки - как положительные, так и отрицательные - выставляются с первого класса. Если администрация Вашей школы применяет игровую методику обучения и не выставляет оценки, то делает это по собственному усмотрению. Не лучший вариант.