Может ли пьяный подписать протокол? Что есть вменяемость в данном случае? Есть ли здесь противоречие? Со ссылками на закон.

Может так же как и ничего не подписывать. Вменяемо лицо или нет может определить только суд за совершение виновным уголовно наказуемого деяния (смотри ч. 1 ст. 21 УК РФ) и назначить наказание в виде принудительных мер медицинского характера, перед этим проводится судебно-психиатрическая экспертиза, в рамках уголовного дела.