что бы оформить доверенность на ребенка-нужно разрешение только одного из родителей?

Не доверенность, а нотариально заверенное согласие.
В соответствии со статьёй 20 Федерального Закона №114 для ВЫЕЗДА ребенка за пределы России, если он едет вообще без родителей, достаточно согласия ОДНОГО из родителей. Если ребенок выезжает с одним из родителей или опекуном, то согласие второго вообще не требуется.
Со ВЪЕЗДОМ в другие страны всё сложнее. Здесь уже работают законы этих самых других стран. Большинство безвизовых для россиян стран (Египет, Тунис, Таиланд, Турция и т. д. ) такого согласия вообще не требуют ни при каких обстоятельствах.
Визовые же страны, напротив, чаще всего требуют согласие ОБОИХ родителей, если ребенок едет вообще без них, или согласие ВТОРОГО родителя, если ребенок едет в сопровождении одного из родителей.

Так что ответ на Ваш вопрос будет зависеть от того, в какую именно страну Вы едете.