Стороны треугольника равны а и b. Проведенные к ним медианы взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника.

Рассмотри прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза ---третья сторона.

Каждый катет этого треугольника -- 2/3 соответствующей медианы.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины

Это свойство медиан, ну и то, что медиана делит сторону пополам, и теорема Пифагора (углы ведь прямые) ---вот все, что надо, чтобы решить эту задачу