Как вы думаете, можно ли становиться лучше, не осознавая этого?

Лучше и хуже - относительные понятия.
Лучше относительно чего или кого?

Не осознавая, конечно, можно, становиться - как лучше, так и хуже, если рассуждать категориями "лучше, хуже".
К осознаванию это мало имеет отношения.

Можно, при определенных условиях. Влюбленность, например, заставляет людей гипертрофировать свои лучшие качества, хочется любит все человечество, всем помочь стать счастливыми и т. д. Или поддавшись какой-то жизненной философии, теории, вере. Ты просто живешь по этим принципам, тем самым становясь лучше не специально, не осознанно.