6/5;28/5) на другой боковой стороне. Найти расстояние боковой стороны от противолежащей вершины.
Найдем точку пересечения прямых x-2y+3=0 и 4x+y+5=0.
Решаем систему уравнений:
x-2y+3=0
4x+y+5=0
Получаем: x = -13/9, y = 7/9
Перейдем к новым переменным (параллельный перенос) :
u = x + 13/9
v = y - 7/9
Тогда уравнение основания примет вид:
(u-13/9) - 2(v+7/9) + 3 = 0
9u - 13 - 18v - 14 + 27 = 0
u - 2v = 0
Уравнение боковой стороны будет выглядеть так:
4(u-13/9) + (v+7/9) + 5 = 0
36u - 13 + 9v + 7 + 5 = 0
4u + v = 0
Координаты точки станут такими:
(6/5+13/9, 28/5-7/9) = (119/45, 217/45)
Перейдем к новым переменным (поворот системы координат) :
s = 2/sqrt(5) u + 1/sqrt(5) v
t = -1/sqrt(5) u + 2/sqrt(5) v
Тогда обратное преобразование будет таким:
u = 2/sqrt(5) s - 1/sqrt(5) t
v = 1/sqrt(5) s + 2/sqrt(5) t
Получаем для уравнения основания:
(2/sqrt(5) s - 1/sqrt(5) t) - 2(1/sqrt(5) s + 2/sqrt(5) t) = 0
t = 0
Для уравнения боковой стороны:
4 (2/sqrt(5) s - 1/sqrt(5) t) + (1/sqrt(5) s + 2/sqrt(5) t) = 0
9/sqrt(5) s - 2/sqrt(5) t = 0
9s - 2t = 0
Кординаты точки примут вид:
(2*119 + 217) / (45 sqrt(5)) = 455/(45 sqrt(5)) = 91 / (9 sqrt(5))
(-119 + 2*217) / (45 sqrt(5)) = 315/(45 sqrt(5)) = 63 / (9 sqrt(5))
Рассмотрим боковую сторону. Её уравнение имеет вид:
t = 9/2 s
Значит, уравнение второй боковой стороны будет иметь вид:
t = -9/2 s + b
Чтобы найти этот коэффициент b, подставим в уравнение боковой стороны координаты известной нам точки:
b = t + 9/2 s =
63 / (9 sqrt(5)) + 9/2 * 91 / (9 sqrt(5)) =
(63 + 819/2) / (9 sqrt(5)) =
945 / (18 sqrt(5)) =
105 / (2 sqrt(5))
Получаем уравнение второй боковой стороны:
t = -9/2 s + 105 / (2 sqrt(5))
Для решения задачи осталось найти расстояние от центра координат до полученной прямой
9s + 2t - 105 / sqrt(5) = 0
Это расстояние равно:
d = 105 / sqrt(5) / sqrt(81 + 4) = 105 / (5 sqrt(17)) = 21 / sqrt(17)
В общем, как-то так. Может быть, в числах напутал, но идея, надеюсь, понятна.
⇢