Помогите решить уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка: (y^3)y"=1 Пожалуйста!

В общем, всё просто.

Делаем замену z(y(x)) = y'(x)
Тогда y''(x) = dz(y(x)) /dx = dz/dy dy/dx = z'(y) y' = z' z

Подставляем это в исходное уравнение:
y^3 (z' z) = 1
z z' = y^(-3)
1/2 (z^2)' = y^(-3)
1/2 z^2 = -1/2 y^(-2) + A
z^2 = A - 1/y^2

Избавляемся от замены:
(y')^2 = A - 1/y^2
y' = sqrt(A - 1/y^2)
yy' = sqrt(Ay^2 - 1)
1/2(y^2)' = sqrt(Ay^2 - 1)

Делаем ещё одну замену w=y^2:
1/2 w' = sqrt(Aw - 1)
1/2 dw / sqrt(Aw - 1) = dx
d sqrt(Aw - 1) = A dx
sqrt(Aw - 1) = Ax + B

Избавляемся от замены и получаем ответ:
sqrt(Ay^2 - 1) = Ax + B
y = sqrt(1/A (Ax + B)^2 + 1/A)

Ну там ещё надо с извлечением корней поаккуратнее поработать, но принцип, надеюсь, понятен.