Если отправлять исковое заявление по почте, то мой экземпляр остается у меня без всяких штампов о принятии?

По почте отправляете с уведомлением и описью вложения. На руках будет уведомление о принятии письма (вернется по почте) и копия описи вложения. Этого достаточно.