Обязанна ли воинская часть выписать ВПД на поезд, по болезни родственника?

Нет, конечно. С какой стати? Военнослужащему. убывающему в отпуск по семейным обстоятельствам - это другое дело.

Если вы едите в оптуск по семейным обстоятельствам, то ВПД вам выпишут.