На ЗНО по украинскому языку набрал меньше 124 баллов, я могу попробовать поступить в ВУЗ?

Нет.
Даже на контракт.
Но.. .
Некоторые вузы для контрактников устраивают переэкзаменовки под какими-то благовидными предлогами. Это не очень законно, но прокатывает, особенно на специальностях, не являющихся престижными.