В каком банке можно зарегистрировать Банковскую карту с 16 лет, и какие документы с собой брать

Не зарегистрировать, а оформить.
В Сбербанке можно. Карта называется Молодежная дебетовая, она как раз оформляется лицам 14-25 лет. Деньги не нужны пока, потом пополните, карта изготавливается 5-10 рабочих дней. Стоимость обслуживания всего 150 руб. в год. Это полноценная международная карта для любых операций.
Приходите в ближайшее отделение Сбербанка с паспортом.
Удачи! Будут вопросы - обращайтесь, подскажу!