злостный препод требует доказать то, что написано красным ( хотя, как по мне, это очевидно).

Действительно, тут все очевидно.
Прологарифмируем обе части равенства:
ln(lim(x->∞) е^(√(х^2-4))/е^х) ) = ln1 = 0.
В силу того, что функция е^(√(х^2-4))/е^х непрерывная на всей области определения, знаки ln и lim можно поменять местами:
lim(x->∞) (ln(e^(√(x^2-4))/e^x)) = lim(x->∞) (ln(e^(√(x^2-4)) - ln(e^x)) = lim(x->∞) (√(x^2 - 4) - x) = lim(x->∞) (-4/(√(x^2 - 4) + x)) = 0, как предел бесконечно малой функции.