"Наконец он достиг предела... " - нужна ли запятая?

Нет, не нужна.

конечно же нет

3. Слово "наконец" является вводным, если оно указывает связь мыслей, порядок изложения (в значении «и еще» ) или дает оценку факта с точки зрения говорящего, например:
Да и наконец, всегда лучше впасть в ошибку, думая хорошо;
Да уходите же, наконец!
В значении же «под конец» , «напоследок» , «после всего» , «в результате всего» слово наконец не является вводным, например:
...Мы поднимались все выше и выше и наконец достигли вершины горы;
...Быстро ушли все наличные деньги, бриллианты жены, наконец и большая часть приданого дочери

(Розенталь)

Не рискну сказать определенно. Я бы не ставил запятую.

В данном случае не нужна.

Он достиг предела когда? наконец--обстоятельство времени. Слово "наконец" является членом предложения, значит, это не вводное слово и его не нужно выделять.