помогите пожалуйста, идет экзамен. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка y'-y=x

Question

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка y'-y=x

Чика · Accepted Answer

dy/dx-y/x=x 
рассмотрим однородное ДУ 
 
dy/dx-y/x=0 
 
пусть u=y/x 
тогда у=ux 
y'=xu'+u 
 
произведешь эту замену и получишь уравнение с разделяющимися переменными 
а дальше решай уже неоднородное! 
успехов!

Petr Podsvirov · Answer

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. 
 
Например: 
 
А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка; 
 
Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка; 
 
В) является дифференциальным уравнением n-го порядка. 
Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. 
 Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1. 
 Решение. Данное уравнение является линейным. 
 Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e2x. 
 Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2 x или U'υ+U(υ'+3υ)= e2x.