можно ли перевести сотрудника на другую должность через увольнение-прием. Сотрудник согласен.

обычно увольняют сотрудника и принимают на другую должность в том случае если работодатель хочет оставить за собой возможность уволить его в случае если не будет справляться с новыми должностными обязанностями, так как при приеме на новую должность сотруднику в трудовом договоре вновь можно прописать трех месячный испытательный срок, а если уверены что он справится с новыми обязанностями, то обычно используется простая процедура перевода, но в этом случае уже не в доп. соглашении к трудовому договору испытательный срок прописывать запрещено Трудовым кодексом. Так что решайте сами, все зависит что за сотрудниу

Не знаю можно ли, но у нас на работе так делают

это уже не перевод, перевод через приказ назначение

Смысла не вижу ...если только не хотят изменить договор
Что касаемо ответа - да, можно

Можно. ТК РФ этого не запрещает. Но смысл???