Назовем медианой пятиугольника ABCDE отрезок,
соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны (А – с серединой
CD, В – с серединой DE и т. д.) . Докажите, что если каждая медиана выпуклого
пятиугольника делит пополам угол, из которого она проведена, и перпендикулярна
стороне, к которой она проведена, то пятиугольник – правильный.
ну например.. .
проведём одну такую медиану, допустим AA'. Проведём две диагонали из той же вершины и к той же стороне (AC и AD) - получим равнобедренный треугольник (медиана равна биссектрисе равна высоте) и AC=AD. Поскольку такое построение возможно для любой пары вершина-сторона, получаем
AC=CE=EB=BD=DA.
Дальше нестрого: полученная фигура - жёсткая, равенства отрезков достаточно, чтобы она была правильной пятиконечной звездой. Она вписана в исходный пятиугольник, который тоже будет правильным.
⇢