Не соглашусь с предложенным разбором, так как прилагательное кошачий – притяжательное, оканчивающееся на -ИЙ. В таких прилагательных -ИЙ – суффикс, окончание нулевое. В других формах данного слова (кошачья, кошачье, кошачьи, а также при склонении этоих форм и начальной формы этих слов – кошачий) суффикс не исчезает, а «прячется» в последнюю гласную букву или первую гласную букву окончания, состоящего из нескольких букв: кошачь [й’а] , кошачь [й’э] , кошачь [й’и] , кошачь [й’э] го, кошачь [й’э] му, кошачь [й’и] м, кошачь [й’у] . Первый звук букв Е, Я, Ю, И – суффикс, гласный звук в котором редуцировался, второй звук – окончание.
Выполнить морфемный разбор слова кошачьи следует так:
кош/ачь/и [й’/и] – корень/суффикс/суффикс [й’]/окончание [и] ; основа слова – кошачьй-.
В Морфемно-орфографическом словаре А. Н. Тихонова, которым надо уметь пользоваться, нет словоформы кошачьи, так как слова в нём, как и в других словарях, даются в начальной форме: кош/а́ч/ий/. Косая линия в конце слова показывает, что за ней идёт нулевое окончание. Нет в онлайн-словаре и наречия по-кошачьи, но оно есть в печатном Школьном словообразовательном словаре русского языка этого же автора на стр. 244 (у меня издание 1978 года) и даётся так: по-/кош/ачь/[j/и] . Запись [j/и] показывает наличие в этом наречии суффикса [й’] – так этот звук обозначают в школе, а в научной лингвистике его принято обозначать так :[j].
Таким образом, без знания фонетики и морфологии (в частности, притяжательных прилагательных и особенностей их строения) качественно выполнить морфемный разбор некоторых слов невозможно.
кошачьи -- прилагательное в форме им.п., мн.ч.
кош (корень) + а́ч (суффикс) + ьи (окончание)