как решать уравнения с модулем и пожалуйста поподробнее)

Подмодульные выражения приравниваете к нулю, решаете полученные уравнения, их корни разбивают числовую прямую на промежутки. В каждом из промежутков раскрываете модуль с учетом знака подмодульного выражения и решаете уравнения. Не забудьте проверить, что полученные таким образом корни находятся именно в том промежутке, который вы рассматриваете в данный момент.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, как решать уравнение с модулем_1ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля. Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a, если число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее ккак решать уравнения с модулемоордината. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т. к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т. к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т. к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2 x = -6

2) |x2 – 5| = 11, т. к. 11 > 0, то

x2 – 5 = 11 или x2 – 5 = -11

x2 = 16 x2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x2 – 5x| = -8, т. к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т. е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О. Д. З. 5x – 10 ≥ 0

5x ≥ 10

x ≥ 2.

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9 7x = 11

x = 3 x = 11/7

3. Объединяем О. Д. З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О. Д. З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2.

1. О. Д. З. 1 – x2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

-1 ≤ x ≤ 1

2. Решение:

x – 1 = 1 – x2 или x – 1 = -(1 – x2)

x2 + x – 2 = 0 x2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О. Д. З.:

Подхо

коля пукал 1ч а наташа 2ч сколько они пукали ч