как пишется имя "Эрадж" на английском языке ? ( Eraj или Eradzh) почему дайте пожалуйста определения ??

Мархамат, здравствуйте.
Отвечу по пунктам.

1) Универсальных правил транслитерации нет. Поэтому могут быть варианты.
2) Имя Эрадж транслитерируется теми, кто его носит, по-разному: Eraj (наиболее часто) , Erahj, Eradj. Например, имя таджикского футболиста Эраджа Раджабова транслитерируется как Eradj. Способ транслитерации может быть фонетическим, а может быть орфографическим. Также большую роль играет то, какой язык является родным для обладателя имени. Например, вариант транслитерации Eradzh передает русское написание (дж->dzh).
3) Имя героя иранского эпоса пишется по-английски Iraj.
4) Если необходимо транслитерировать имя для российского загранпаспорта, то для этого есть официально утвержденные правила. Если речь о гражданине РФ, который уже получил загранпаспорт, то при заполнении различных официальных документов лучше всего придерживаться того варианта транслитерации, который содержится в загранпаспорте.